LOMOVÁ HOUŽEVNATOST Z TŘÍBODOVÉHO OHYBU VZORKŮ Z KVAZIKŘEHKÝCH MATERIÁLŮ: KOREKCE VZHLEDEM K ŠÍŘCE ZÁŘEZU

FRACTURE TOUGHNESS OF QUASI-BRITTLE SPECIMENS USING THREE-POINT BENDING TEST: CORRECTION WITH RESPECT TO NOTCH WIDTH

Petr Frantík¹, Zbyněk Keršner², Jan Klusák³, Stanislav Seitl⁴

¹ Petr Frantík, Ing., Ph.D., FAST VUT v Brně, Ústav stavební mechaniky, Veveří 331/95, 602 00 Brno, frantik.p at fce dot vutbr dot cz

² Zbyněk Keršner, doc. Ing., CSc., dtto, kersner.z at fce dot vutbr dot cz

³ Jan Klusák, Ing., Ph.D., Ústav fyziky materiálů, Akademie věd České republiky, v. v. i., Žižkova 22, Brno 616 62, klusak at ipm dot cz

⁴ Stanislav Seitl, Ing., Ph.D., dtto, seitl at ipm dot cz

ABSTRACT

The paper introduce the influence of the starting notch width on a crack growth in three-point bending specimens that are the most frequently used specimens for fracture laboratory testing, especially of quasi-brittle cement-based composites. There are analyses of three geometrically different configurations of the specimens. It is shown that the values of fracture toughness obtained from the tests of specimens with larger widths of the starting notch can be overestimated. Correction functions for selected testing configurations are presented.

1 ÚVOD

Experimenty pro získání hodnot lomově-mechanických veličin stavebních materiálů bývají prováděny na tvarově různých tělesech [1]. K nejpoužívanější konfiguraci patří zkouška ve tříbodovém ohybu vzorků tvaru trámců s centrálním zářezem – viz obr. 1. Magistrální trhlina v takovém případě vzniká v místě zářezu/vrubu, viz např. [2]. Příspěvek se opírá o dříve provedené výpočty metodou konečných prvků, které analyzovaly vliv šířky zářezu pro různé geometrie vzorku/zkoušky na iniciaci počáteční trhliny. Tento vliv na získané hodnoty efektivní lomové houževnatosti autoři kvantifikují a na tomto základě zde uvádějí nalezené regresní funkce pro jeho korekci.

Obr. 1 Konfigurace zkoušky tříbodovým ohybem vzorku s centrálním zářezem [2]

2 NUMERICKÁ STUDIE A JEJÍ TEORETICKÉ POZADÍ

Při určování hodnot lomově mechanických parametrů kompozitů se silikátovou matricí se v závislosti na velikosti maximálního zrna kameniva ustálilo používání tří velikostí zkušebních těles. Jejich nominální rozměry uvádí tab. 1, přičemž označení rozměrů je v souladu s obr. 1. Hloubka zářezu an odpovídá u všech těles 1/3 výšky vzorku W.

Tab. 1 Studované velikosti zkušebních těles lomových experimentů

V práci [2] byla tato sada vzorků analyzována s ohledem na chování při lomovém experimentu. Měnil se parametr šířka zářezu b_n v rozmezí od 0 do 6 mm (pro regresi je převzat interval 0 až 4 mm); nulová hodnota představovala teoretickou trhlinu. Nejprve byly stanoveny podmínky iniciace trhliny z ostrého vrcholu zářezu. Tato procedura v sobě zahrnuje stanovení hodnot zobecněných součinitelů intenzity napětí H_I, H_II, z jejichž poměru H_II/H_I je určen počáteční směr ₀ iniciované trhliny a následně vypočtena kritická aplikovaná síla P_C odpovídající zatížení vzorku, při níž dojde ve vrcholu zářezu k iniciaci trhliny.

Následné modelování růstu trhliny vychází z počátečního směru šíření ₀ (určeného ze závislosti na poměru H_II/H_I). Pro výpočet součinitelů intenzity napětí K_I, K_II posloužila procedura KCALC využívající posunutí středového uzlu, implementovaná v programu ANSYS [4]. Alternativou byl výpočet z posunutí líce trhliny určených v programu FRANC2D [5]. Pro stanovení předpokládaného směru šíření trhliny se v každém kroku použilo kritérium maximálního tangenciálního napětí [9], které je implementované v programu FRANC2D. Podrobnosti lze nalézt v [2, 3, 6, 7, 8].

Významný výsledek výše naznačené numerické analýzy pak představuje sada hodnot normalizovaného faktoru intenzity napětí K_I/K_I,_{(bn = 0)} v závislosti na šířce zářezu b_n – viz tab. 2; grafický průběh závislosti je možno vidět na obr. 2 a 3.

Tab. 2 Hodnoty normalizovaného faktoru intenzity napětí pro tři velikosti zkušebních těles a různé šířky zářezu b_n

3 REGRESE

Teoreticky zjištěné závislosti normalizované lomové houževnatosti lze užít k navržení korekčního postupu pro přepočet výsledků reálného experimentu na referenční zářez o nulové šířce (trhlina). Byly navrženy dvě regresní funkce. První – y_sqrt – má tvar:

(1)

kde c₀ a c₁ jsou její parametry. Druhá regresní funkce – y_hyper – má tvar:

(2)

kde d₀, d₁ a d₂ jsou parametry této funkce.

Vzhledem k nelineární závislosti funkcí na jejích parametrech byly tyto parametry hledány pomocí genetických algoritmů minimalizací čtverců odchylek. Samotná nelineární regrese ukázala, že výstižnější je funkce y_hyper, viz obr. 2 a 3. Její jednoduchost oproti funkci y_sqrt vyváží potřebu tří parametrů. Funkce y_sqrt byla zpočátku navržena se čtyřmi parametry, přičemž dva z nich se ukázaly konstantní pro dané geometrie s hodnotami 0.001 a 1000, viz vztah (1). Uveďme dále, že funkce y_sqrt je navržena tak, aby neměla v bodě b_n = 0 konečnou derivaci. Největší odlišnost obou funkcí lze nalézt pro zářezy se šířkou b_n<0.5 mm. Hodnoty parametrů funkcí uvádí tab. 3.

Tab. 3 Parametry regresních funkcí

Obr. 2 Vypočtené hodnoty normalizované lomové houževnatosti vs. šířka zářezu (nulová šířka odpovídá teoretické trhlině) pro velikosti vzorků A, B, C a jejich regrese funkcí y_sqrt

Obr. 3 Vypočtené hodnoty normalizované lomové houževnatosti vs. šířka zářezu (nulová šířka odpovídá teoretické trhlině) pro velikosti vzorků A, B, C a jejich regrese funkcí y_hyper

ZÁVĚR

V předkládaném příspěvku autoři uvedli dvě regresní funkce pro tři používané geometrie zkoušky tříbodovým ohybem, které mohou sloužit pro výpočet korekce experimentálních výsledků prováděných na vzorcích s různou šířkou centrálního zářezu. Parametry regresních funkcí byly určeny pomocí aproximace hodnot získaných výpočtem [2]. Z hodnot uvedených funkcí v reálném rozsahu šířek zářezů vyplývá, že nadhodnocení lomové houževnatosti bez použití takovéto korekce může činit až asi 50%.

PODĚKOVÁNÍ

Tato práce vznikla za finanční podpory projektů GA ČR č. 103/07/1276 a č. 101/05/0227.

LITERATURA

[1] KARIHALOO, B. L. Fracture mechanics of concrete. Longman Scientific & Technical, New York, 1995.

[2] SEITL, S., KLUSÁK, J. & KERŠNER Z. Vliv šířky zářezu na růst trhliny pro různé konfigurace vzorků pro tříbodový ohyb, Materials Engineering, Vol. 14, No. 3, 2007, 213–219.

[3] SEITL, S., KLUSÁK, J., KNÉSL, Z. & KERŠNER. Z. Influence of notch geometry on crack initiation and path under three-point bending of quasi-brittle materials, Recent Developments in Structural Engineering, Mechanics and Computation, Proceedings Structural Engineering, Mechanics and Computation, Cape Town, 2007, 245–246.

[4] ANSYS, Users Manual, Version 6.1, Swanson Analysis System, Inc., Houston, Pennsylvania, 2002.

[5] FRANC2D A Crack Propagation Simulator for Plane Layered Structures, http://www.cfg.cornell.edu.

[6] KLUSÁK, J., KNÉSL, Z. & NÁHLÍK, L. Crack initiation criteria for singular stress concentrations, Part II: Stability of sharp and bi-material notches, Engineering mechanics, 2007 (v tisku).

[7] KLUSÁK, J. & KNÉSL, Z. Evaluation of the threshold values for the propagation of a fatigue crack starting at a V-notch. Computer Assisted Mechanics and Engineering Science, 9, 2002, 459–468.

[8] KNÉSL, Z. A criterion of V-notch stability, International Journal of Fracture, 48: (4), 1991, R79–R83.

[9] ERDOGAN, F. & SIH G. C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear, Journal of Basic Engineering, 85, 1963, 519–527.