ABSTRACT
Results of free vibrations measurement of slender beam in postcritical state and comparison with numerical simulation is presented in the paper.
1 ÚVOD
V rámci přípravných prací pro experimentální měření kmitání štíhlého prutu v oblasti velkých deformací zatíženého harmonickým zatížením bylo prováděno měření volného kmitání vybraného prutu, jenž se nacházel v pokritickém stavu. Pokritický stav byl navozen z důvodu dosažení silně nelineární odezvy pružné konstrukce, která sloužila pro studium nelineárních jevů při vývoji dynamického systému, reprezentujícího dynamicky zatíženou konstrukci.
2 KONSTRUKCE
Štíhlý ocelový prut délky 30 cm, šířky 1 cm a tloušťky 0.3 mm (hmotnosti 9 g) byl vetknut ve vertikální pozici volným koncem vzhůru. Na volném konci prutu bylo upevněno ocelové závaží o hmotnosti 13.54 g, jehož přičiněním se dosáhlo pokritického stavu prutu.
Obr. 1: Fotografie vetknutého prutu včetně reflexních štítků pro snímání videokamerou
3 MODEL
Pro numerickou simulaci zatížené konstrukce, přípravu a vyhodnocení dynamického experimentu byl vytvořen speciální model, který umožňuje efektivní řešení této úlohy, viz [1], [2]. V tomto modelu reprezentuje prut určitý počet absolutně tuhých dílců spojených vzájemně lineárně pružnými rotačními pružinami, viz Obr. 2. Efektivita modelu spočívá v nízké časové náročnosti řešení díky zanedbání normálového a smykového přetvoření prutu. Tímto zanedbáním dochází k eliminaci vyšších frekvencí, což umožňuje zvýšení diskretizačního kroku numerických metod.
Obr. 2: Znázornění prutu v pokritickém tvaru a jeho modelu
Tento model je možno zařadit do soustavy finitních metod mechaniky [3] pod označením metoda tuhých fyzických exkumulačních konečných prvků. Pohybové rovnice modelu byly sestaveny dle principů klasické mechaniky (viz [4]). Odvození lze nalézt v [1] a [5].
Náročnou komponentu modelu představuje zejména reprezentace tlumících jevů pomocí členů kvadraticky závislých na rychlosti posunutí bodů prutu, viz [2]. Tato reprezentace vznikla aproximací výsledků podobného dynamického experimentu – volného kmitání prutu v prekritickém stavu, při kterém byly ovšem zaznamenány pouze amplitudy výchylky prutu.
4 EXPERIMENT
Experiment byl proveden v rámci výzkumného pobytu na partnerské univerzitě Bauhaus-Universität Weimar v Německu. Vybraná konstrukce byla umístěna do prostředí vhodného pro optické snímání videokamerou, viz Obr. 1. Konce prutu a vybrané body z nepohyblivého okolí označovaly reflexní štítky. K rozpoznávání jejich polohy ze získaného videozáznamu sloužil speciální software. Celá experimentální sestava je zobrazena na Obr. 3.
Pohyb prutu snímala digitální černobílá průmyslová videokamera s rozlišením 1291×1029 pixelů s frekvencí 10 Hz. Z videozáznamů kmitání konstrukce byly obrazovou analýzou získány zejména časové řady příčné (tj. horizontální) výchylky y volného konce prutu. Pro vykreslení projekcí ve fázovém prostoru je ovšem zapotřebí znát také časové řady rychlostí příčné výchylky . Pro jejich získání byl vytvořen program, jenž odhaduje derivace časové řady příčné výchylky lokální „klouzavou“ aproximací. Pro tuto aproximaci byl užit polynom druhého stupně, jímž se aproximovalo sedm po sobě jdoucích bodů.
Obr. 3: Fotografie experimentální sestavy
Obr. 4: Srovnání projekcí fázových portrétů volného kmitání konstrukce získaných z experi-mentu (vlevo) a z numerické simulace (vpravo)
Samotný experiment probíhal tak, že se přímému prutu udělila dostatečně velká počáteční rychlost a poté se ponechal volně kmitat. Při udělování počáteční rychlosti bylo potřeba zajistit její plynulé nanesení pro zamezení kroucení prutu.
Obr. 4 uvádí výsledek experimentu pomocí projekce fázového portrétu systému. Z projekce je patrný pokritický stav prutu – existují dva stabilní statické stavy, které se nacházejí v „ohniscích“ charakteristického útvaru podobnému písmenu osm. Z obrázku lze rovněž rozpoznat narušení symetrie bifurkace – statický stav poblíž spodního okraje fázových portrétů zabírá větší plochu projekce fázového prostoru.
Ze srovnání výsledků experimentu a numerické simulace je patrná dobrá shoda numerického modelu s odezvou testované konstrukce.
5 ZÁVĚR
Příspěvek prezentoval výsledky kontrolního měření volného kmitání prutu v pokritickém stavu, které bylo součástí experimentálního výzkumu dynamicky zatížené štíhlé prutové konstrukce. Uvedený experiment se zaměřoval zejména na ověření funkčnosti numerického modelu, který se pro studovaný problém velmi dobře osvědčil.
PODĚKOVÁNÍ
Tento příspěvek vznikl v rámci výzkumného záměru MSM 261100009 a s podporou grantu GA ČR 103/03/1350.
LITERATURA
[1] FRANTÍK, P. a MACUR, J. Diskrétní dynamický model konzoly: Speciální řešení, In: sborník konference DYN-WIND, Tále, 2003
[2] FRANTÍK, P. Kmitání štíhlého nosníku: útlum a jeho model, In: sborník konference Experimentální analýza napětí 2004, Kašperské hory, 2004
[3] HENRYCH, J. Úplná soustava finitních metod mechaniky a možnosti dalšího rozvoje, studie ČSAV 6.85, nakladatelství Akademia, Praha 1985, 167 s.
[4] LEECH, J. W. Klasická mechanika, nakladatelství SNTL (orig. Butler & Tanner Ltd., Frome, 1958), Praha 1970
[5] FRANTÍK, P. Nelineární projevy mechanických konstrukcí, disertační práce, Ústav stavební mechaniky, FAST VUT v Brně, Brno, 2004
1Petr Frantík, Ing., Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky, Veveří 331/95, 602 00 Brno, kitnarf at centrum dot cz
2Volkmar Zabel, Dr.-Ing., Steve Seyler, Dipl.-Ing., Bauhaus-Universität Weimar, Institute of Structural Mechanics, Marienstrasse 14, 99423 Weimar, Germany, volkmar.zabel at bauing.uni-weimar dot de