Vybrané fraktály a jejich iterační rovnice 'chaos game'

Petr Frantík

Úvod

Objevitelem tohoto způsobu vytváření fraktálů je Michael Barnsley a od něj rovněž pochází název Chaos Game (hra na chaos). Odborněji se hře na chaos říká systémy iterovaných funkcí neboli Iterated Function Systems - IFS. Pro stručnost pouze uvedu, že každý fraktál zde uvedený má konečnou množinu n řídících bodů K[i], i = 1,...,n se souřadnicemi (xk[i],yk[i]). Ke každému řídícímu bodu pak přísluší dvě iterační rovnice pro obě souřadnice (x,y) bodů, které tvoří fraktál, v tomto tvaru (vyberme i-tý řídící bod):

x[n+1]= a[i] x[n] + b[i] y[n] + xo[i]
y[n+1]= c[i] x[n] + d[i] y[n] + yo[i]

kde (x[n+1],y[n+1]) jsou souřadnice nového bodu tvořícího fraktál, a,b,c,d jsou koeficienty příslušné i-tému řídícímu bodu K[i] a (xo,yo) jsou souřadnice obrazu řídícího bodu K[i].

Tyto rovnice i-tého řídícího bodu zajišťují konvergenci posloupnosti bodů tvořících fraktál právě do i-tého řídícího bodu. Ke každému řídícímu bodu je však přiřazena pravděpodobnost p[i], která je použita při opakovaně náhodném výběru řídícího bodu a k následné iteraci bodu tvořícího fraktál.

Tedy celý postup lze zhrnout: zvolím počáteční bod (nejlépe jeden z řídících bodů). Náhodně vyberu s respektováním pravděpodobností p[i] jeden řídící bod a provedu jednu iteraci jeho dvou funkcí a obdržím nový bod. Vykreslím nový bod a opět náhodně vyberu jeden řídící bod a proces opakuji.

Kochova křivka

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 1/3 0 0 1/3 0 0 0 0 0.3
2 1/3 0 0 1/3 2/3 0 1 0 0.3
3 1/6 31/2/6 -31/2/6 1/6 1/2 31/2/6 0.642857 0.123718 0.2
4 1/6 -31/2/6 31/2/6 1/6 1/3 0 0.357143 0.123718 0.2

 

 

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 1/3 0 0 1/3 0 0 0 0 0.3
2 1/3 0 0 1/3 2/3 0 1 0 0.3
3 1/6 1/6 -1/6 1/6 1/2 1/6 0.615384 0.076923 0.2
4 1/6 -1/6 1/6 1/6 1/3 0 0.384615 0.076923 0.2

 

C křivka

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 1/2 0 0 1/2 1/4 0 1/2 0 0.05
2 1/2 0 0 1/2 -1/4 0 -1/2 0 0.05
3 1/2 -1/2 1/2 1/2 3/4 1/4 0.5 1 0.45
4 1/2 1/2 -1/2 1/2 -3/4 1/4 -0.5 1 0.45

 

 

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 1/2 0 0 1/2 0 0 0 0 0.4
2 0 -1/2 1/2 0 1 0 0.8 0.4 0.3
3 0 1/2 -1/2 0 0 1 0.4 0.8 0.3

 

Strom

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 0 0 0 p 0 0 0 0 0.2
2 z/21/2 -z/21/2 z/21/2 z/21/2 0 1 0.818155 1.131488 0.4
3 z/21/2 z/21/2 -z/21/2 z/21/2 0 1 -0.818155 1.131488 0.4

Kde z je řešením rovnice 21/2z3+2z2-1 = 0, což je z = 0.593465 a p = (1-z2)/(1+z/21/2), tedy p = 0.456311

 

 

i    a b c d    xo yo    xk yk    p
1 0 0 0 1/3 0 0 0 0 0.1
2 1/2 -1/2 1/2 1/2 0 1 1 1 0.45
3 1/2 1/2 -1/2 1/2 0 1 -1 1 0.45

 
K vytvoření článku byla užita kniha James Gleick: Chaos, vznik nové vědy
Petr Frantík, http://kitnarfovo.misto.cz/