PROBLEMATIKA STANOVENÍ FRAKTÁLNÍ DIMENZE
LOMOVÉ PLOCHY

Petr Frantík

Úvod

Fraktální dimenze objektu je jedním z jeho atributů a vyjadřuje (klasifikuje), v závislosti na zvoleném měřítku, jeho strukturu. Zde nebudeme rozebírat fraktály či fraktální dimenze, ani jejich význam. Pouze si ukážeme zvolený způsob stanovování fraktální dimenze pro objekt zobrazený v 2D bitmapovém obrázku. Metoda, kterou použijeme pro stanovení fraktální dimenze, bude základní a poměrně v současné době zaostalá, nicméně problémy s jejím použitím budou podobné. Tento příspěvek si klade za cíl seznámení s potížemi, se kterými jsem se setkal při vytváření a testování programu zvolené metody.

Popis použitých dimenzí

V programu na výpočet fraktální dimenze jsou použity dvě různé dimenze [1]:

- kapaciní dimenze d_c definovaná vzorcem:

kde je nejmenší počet čtverců o straně velikosti obsahujících objekt.

- dimenze přirozené míry d_I definovaná vzorcem:

kde p_i je pravděpodobnost, že bod z objektu je v i-tém čtverci o straně velikosti .

Popis algoritmu výpočtu

Jako vstup do programu je použit obrázek s odstíny šedi čtvercového tvaru s pixelovou délkou strany a rovnou celočíselné mocnině dvou (pixelů). Konvence pro odstín šedé je taková, že čím světlejší je pixel, tím pravděpodobnější je výskyt části objektu v tomto pixelu (pro kapacitní dimenzi pravděpodobnost výskytu nehraje roli). Každý pixel, kromě zcela černého, je tedy započítán do struktury objektu.

Obrázek s objektem je postupně dělen čtverci o straně

= a, a/2, a/4, a/8, …, 4, 2, 1 pixelů

tedy

_m = a/2^m , kde m = 0, 1, 2, …, log₂ a pixelů

a pro každé toto dělení jsou stanoveny a

Z definice dimenzí je vidět, že obě jsou limity z podílu. Tuto limitu můžeme interpretovat jako směrnici závislosti

y = f(x)

kde f(x) je jmenovatel ve zlomku limity a x je čitatel ve zlomku limity. Z uvedeného vyplývá, že pro dvojici různých dělení lze stanovit směrnici, která je přibližně hledanou dimenzí. Vzhledem k tomu, že toto ovšem nepostačuje, proloží se body (x_i , y_i) přímka pomocí některé z metod diskrétní aproximace a její směrnice pak bude přibližně hledaná dimenze.

Příklad výpočtu

Ukážeme si výpočet fraktální dimenze na obrázku fraktálu, který se jmenuje Sierpínského trojúhelník (viz obr. 1) [2], u něhož je fraktální dimenze známa, činí:

, což je přibližně 1.585.

Budeme tento fraktál vkládat do obrázků s velikostí strany a postupně 1024, 512, 256, 128 pixelů a testovat jak budou vycházet obě dimenze. Zobrazíme si průběh bodového pole y_i = f(x_i) a jeho diskrétní aproximace polynomem prvního stupně. Bodové pole použijeme jak úplné (tedy = a, a/2, …, 1), tak zúžené (zúžením je myšleno odstranění vybraných bodů). Zúžení provedeme dvojí: první bude správné a druhé bude chybné. Zúžení není samoúčelné, u jiných fraktálů je třeba jej provádět, jinak by se znehodnotil výpočet. Avšak u Sierpínského trojúhelníku tomu tak zřejmě není.

U obou obrázků bodových polí nejsou zobrazeny osy ani jejich dělení. Lze říci, že nejsou podstatné. Důležitý je vývoj bodového pole a průběh jeho aproximace.

U správného zúžení byl odstraněn první a poslední bod z bodového pole. U nesprávného zúžení byla ponechána poslední čtveřice bodů. Z tabulky je vidět, že nesprávné zúžení vedlo k znehodnocení výpočtu. Příčina tohoto znehodnocení je patrná na obrázcích 2 a 3. Zatímco správné zúžení odstranilo odchýlený první i poslední bod, zúžení nesprávné ponechalo nesymetricky odchýlenou hodnotu na jedné straně, což způsobilo zásadní chybu. Podstatné ovšem je, že se odchýlení neprojevilo v odhadu chyby.

Zobrazení lomové plochy

Zobrazení lomové plochy je jistě zásadní stránkou celého postupu stanovení její fraktální dimenze. Pro správné rozhodnutí o způsobu její výpočetní reprezentace v počítači je právě důležitá znalost problémů se stanovováním dimenzí. Již z předchozího příkladu bylo zřejmé, že i při výpočtu fraktální dimenze útvaru, jenž byl relativně přesně reprezentován a který je jistě v měřítkovém smyslu jednodušší než lomová plocha, vznikají významné potíže. Jednoduše řečeno, při nesprávné reprezentaci se může stát, že výsledná dimenze bude špatná nebo bude odpovídat jiné struktuře, než která byla původně zkoumána. Pochopitelně nelze vyloučit souvislost takové vzniklé struktury, ale závislost s hledanými vlastnostmi lomového materiálu pak bude zřejmě složitější (je to jakási analogie laboratorního pokusu, kdy se snažíme o maximální izolaci procesu, který zkoumáme). Naznačujeme tím fakt, že pokud nestanovíme dimenzi dostatečně věrohodně, nelze o získaném výsledku říci, že bude snadno opakovatelný (tento fakt je zřejmě potřebný pro důvěryhodnost jakéhokoliv nového postupu). Případné zjednodušení zobrazení by mělo vycházet z důvěryhodných výsledků přesnějšího zobrazení.

Vybrané možnosti přímého zobrazení lomové plochy jsou tyto:

Prostorová reprezentace

- přímé vzorkování plochy (měřidlem, laserem, radarem)

- fotogrammetrie (analýza dvojice obrazů plochy)

Rovinná reprezentace

- řez plochy (fotografie, sken)

- vržený stín plochy (fotografie)

Závěr

Nastíněn byl pouze jeden problém při stanovování fraktální dimenze. A to zejména proto, že vybraný fraktál byl jednoduchý. U složitějších fraktálů komplikací přibude. Nastanou problémy nejen s výběrem zúžení, ale přibude problém se "zahuštěním objektu" nebo může být vybraný útvar tzv. multifraktál (při různém zvětšení má různou dimenzi) apod.

Pro první pokusy o stanovení souvislostí vlastností materiálu s fraktalitou lomové plochy je potřeba vybrat co nejpřesnější zobrazení této plochy, protože pouze tak můžeme něco říci, obzvláště v případech, kdy fraktální dimenze dané lomové plochy nebyla nikdy stanovena. Nevhodnost daného zobrazení by se mohla projevit právě v problémech se stanovením fraktální dimenze.

Shrnutím tedy může být závěr, že člověk analyzující fraktální dimenzi by měl mít dostatek zkušeností s problémy, které takovéto výpočty doprovázejí. K získání těchto zkušeností je zajisté nezbytné mít testovací obor známých fraktálů (fraktálů, jejichž dimenze je alespoň přibližně známa).

Poděkování

Práce na tomto příspěvku byly podporovány z prostředků výzkumného záměru CEZ: J22/98: 261100009.

Literatura

[1] Viktor Votruba, diplomová práce, MU v Brně, Brno 2000

[2] James Gleick, Chaos: vznik nové vědy, Ando Publishing, Brno, 1996