Petr Frantík

Úvod

Pro příklad použitelnosti rekonstrukce fázového portrétu systému se třemi stavovými proměnnými jsem použil literaturu [Viktor Votruba, diplomová práce, MU v Brně, Brno 2000], jenž vycházel z [A. Wolf et all, Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica 16D, 1985] a [N. H. Packard, J. P. Crutchfield, J. D. Farmer and R. Shaw, Geometry from a time series, Phys. Rev. Letters 45]. Postup rekonstrukce je následující: Máme dynamický systém s více stavovými proměnnými, u něhož známe časovou závislost pouze jedné stavové proměnné. Chceme sestrojit atraktor, jenž by měl stejné topologické vlastnosti jako atraktor získaný z řešení soustavy obecných diferenciálních rovnic. Označme x(t) časovou řadu jedné ze stavových proměnných. Jako nezávislé souřadnice fázového prostoru můžeme potom použít hodnoty x(t), y(t)=x(t-t), z(t)=x(t-2t), ..., kde t je čas určující časové zpoždění.

Vlastní výsledky

Tento postup jsem vyzkoušel na svém systému se třemi stavovými proměnnými, jenž modeluje nelineární konzolu. Ze soustavy ODR jsem nejprve vygeneroval časovou řadu j(t) s krokem h= 0.001 s viz obr. 1. Předmětem rekonstrukce se stala stavová proměnná w(t), kterou jako jedinou potřebujeme pro zobrazení projekce atraktoru. Problémem je stanovení správné hodnoty časového zpoždění t. Příliš nízké hodnoty vedou k deformaci portrétu na přímku. Příliš vysoké hodnoty portrét znehodnocují.

Obr. 1: Počáteční část vygenerované časové řady

Obr. 2: Projekce atraktoru vygenerovaného řešením ODR

Obr. 3: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.002 s

Obr. 4: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.01 s

Obr. 5: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.015 s

Obr. 6: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.02 s

Obr. 7: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.1 s

Závěr

Z uvedených obrázků vyplývá:

• Při vhodné volbě časového zpoždění t je rekonstruovaná projekce atraktoru topologicky stejná jako projekce atraktoru vygenerovaná řešením soustavy ODR (viz obr. 2 versus obr. 5). To znamená, že Ljapunovovy exponenty a kapacitní dimenze atraktoru jsou v obou případech shodné.
• Projekce atraktoru je pootočena a rekonstruovaná stavová proměnná má z důvodu rekonstrukce několikanásobně nižší hodnoty (je to patrné z porovnání svislých souřadných os z obr. 2 versus 3 až 7).
• Vypadá to, že při hledání vhodného časového zpoždění t je dobré začít hodnotou, při níž je rekonstruovaný atraktor deformován téměř na přímku a postupně zvyšovat časové zpoždění t tak, aby bylo patrné rozvíjení atraktoru z přímky. U vyšších hodnot časového zpoždění t lze při neznalosti tvaru atraktoru jen obtížněji odhadnout jeho nedeformovaný tvar.
• Z pokusů také vyplynulo, že záznam zdrojové stavové proměnné musí být "dostatečně hustý", aby byla "dobrá" rekonstrukce možná.